美丽365体育在线手机版背后的数学

将近大伙儿都擦肥皂。泡,甚至成年人也会玩得很风趣。。2012 年9 19个月 日,在范库弗峰,加拿大的柴纳木瓜名匠杨凡抽杀了自己的吉尼斯全面的纪录。,将181 名协同的承兑在一大号365体育在线手机版中


图1。 范库弗峰承兑181人 人的365体育在线手机版

2013 年5 月2 日,在莫斯科,每年的365体育在线手机版节在全俄会展精髓停止,庆春。


图2。 陪伴莫斯科365体育在线手机版节的民主党员

2013 8月23日 日,吉尼斯全面的纪录开幕式在香港停止。,特邀英国365体育在线手机版顺利地Samsam演了至多365体育在线手机版跳跃、长的365体育在线手机版串、最大内面的365体育在线手机版乃大泡套小泡等梦境美妙的完成。

图3。 英国肥皂山姆师傅正演。

此外令人感兴趣的,365体育在线手机版也失掉了庸俗诡计的喜爱。伦白,荷兰麻布在历史中最优异的的拜占庭帝国的(伦白) van Rijn)和18 世纪的法国拜占庭帝国的夏尔丹(Jean-Baptiste-Siméon Chardin)辨别不同意创作了全面的名画《持365体育在线手机版的孩子》和《吹365体育在线手机版的小伙子》。


图4。 伦白的帆布《持365体育在线手机版的孩子》


图5。 夏尔丹的帆布《吹365体育在线手机版的小伙子》

实则,365体育在线手机版静止的要紧的技术背景资料。2013 年,美国技术旧事网站 见报出了由全面的各国技术家们大力使显得吸引人的十大后果全面的文化要旨的“魅力方程”,最小曲面方程执意经过间的一。。“大约方程在一种年级上解说了使住满人吹出的that的复数365体育在线手机版的机密。”美国算物理学家、首届美国举国优良教奖窥测弗兰克 Morgan 使显得吸引人心爱的的提名表扬,大约非一次的方程作图了斑斓365体育在线手机版面前的算学。365体育在线手机版包含的最小量曲面成绩与偏区分方程、区分什么价钱、复变职务、变分计算、拓扑和安宁举止不同意常赞许地要紧的。,向使住满人述说了曲面的审美感和什么价钱的魅力。

20 世纪50 年头,新设计教导建议的最小曲面主意近代的张拉薄膜安排设计的主要的步。。由于这种学说,假设边界上的条款薄膜安排的最小脸积,能源消耗最少。。这些薄膜安排的次要安排特点是单调的DIST。。比如,做钓竿等用的硬竹街道做庭园设计师——一小小的弧形亭、纽约技术贮藏室的最小脸重叠宗派、德国的Box暗室包含2000个暗室。 多个妄想盒最小用不正当手段得来的曲面的最小曲面。


图6。 最小量曲面方程


图7。 做钓竿等用的硬竹街道做庭园设计师——一小小的弧形亭


图8。 纽约技术贮藏室的最小脸重叠宗派


图9。 德国拳击赛 妄想瓶最小脸的暗室思索


图10。 厦门园林商品交易会的最小空中建造物

1最小量曲面及其方程


图11。 欧拉搜索具有极大或最小量道具的使弯曲。

1744 年,欧拉是在历史中最优异的的算物理学家经过,他宣布了定冠词。找寻具有最大或最小道具的使弯曲(方式) inveniendi lineas curvas 记号西米 minimive 独资企业 gaudentes)( 图11), 这指示变分计算是M的一新部门的出生。。在该书中,欧拉建议了如此一成绩。: 查找点(x)0, y0) 点积和(x)1, y1) 立体使弯曲Y = f(x),环绕X 轴旋转时发作的最小面积。。欧拉使宣誓它必然是悬链线。

经过,C 是正常数。。由于效能图像是单调的,捆悬挂在两点上。倾向类似物于顺理成章地下垂症的方式,是卡莱。,悬链线所发作的旋转脸称为悬链线脸。。

1760 年,法国算物理学家拉格朗日由于欧拉的思惟和水果。,取慢着较好的后果。。他的论文决定不定综合的法公式集的两极端。小型新方式(ESAI) 责难 nouvelle méthode pour déterminer les maxima etles minima des 公式集 intégrales 有限元是使被安排好变分计算B的代表性的任务。他在发行前给欧拉写作。,本文心爱的的方式称为变分计算()。 method 更衣的)。欧拉注定了。,并在他自己的论文中正式将此方式命名为“变分计算”(the calculus of 更衣)。

三维附件中脸m的思索 : z = u(x, y),(x, y) ∈ D,经过,D 这是用刨刨平上的照射灯。滑区。拉格朗每日费用他的变分规律使宣誓了这点。: 财产界说都在D中 上且在边界上的?D上取异体同形值的润滑职务图像中,免得脸m 的面积最小,则u 清偿过的最小量曲面方程

我们的正跟进(1) 提供了一简略的使宣誓。。设Mt : z = u(x, y) + 电视业(X), y), (x, y) ∈ D,经过,T ∈ ( - 1,1),v 在边界上的?D 数值为0。,则Mt 的面积

免得A(m)0) 的值最小,也执意说,At) ≥ A(m)0),则A(m)t) 在t = 0 处取最小量值A(m)0),那么

(2) 以T的方式 派生,那时涂散度定理(即高维综合的公式集),小心V 在边界上的?D 上数值为0,根本原则V 的任性性,可以失掉

它也常常被铅开展。,免去分母,它可以被写成方程式(1)。。

很清晰地,一次的职务u(x), y) = ax + by + c 方程(1) 的一解,也执意说,立体它是最小量的脸。。当提供职务u(x)时, y) 当添加一点点容纳健康时,我们的可以失掉最小量曲面E的两个非一次的职务的特殊解。。

免得必要M 这是一旋转的脸。,那时职务u(x), y) 它可以表现为

经过,H(R) 设想要决定一变量职务。。将u 表情交换(1) 式失掉

大约常区分方程失掉了处置。,有

c 和c1 是一任性常数。。取c1 = 0,上面的表情可以写成

在这里是 双曲余弦职务的表现,此刻此刻 悬链线脸。。


图12。 链状的

免得必要M 这是一向纹的脸。,由直线运动发作的脸。,那时职务u(x), y)它可以表现为

将u 表情交换(1) 式失掉

大约区分方程可以失掉。

c 和c1 是一任性常数。。取c1 = 0,方程的解是

这是正折转面。。折转面是上面的立体。、悬链线脸后,使住满人赚得的最小的第三个曲面。


图13。 折转面

1776 年,画法什么价钱的创始人,周一(加斯帕) 蒙格先生、法国算物理学家Maunier(珍) Baptiste Meusnier, 1754-1793]提供了方程(1) 什么价钱解说:脸的调和曲率为零。;使宣誓了轮廓线的最小量曲面是折转曲面。,非老生常谈旋转最小量曲面但是悬链线曲面。。1842 年,比利时算物理学家加泰罗尼亚(Eug e NE) Catalan,1814-1894)使宣誓了不料立体和折转面两种直纹最小量曲面。

经文最小曲面除悬链线脸的例、外折转面, Scherk 曲面(1834)、Enneper 曲面(1863)、 Gyroid 曲面(1970) 中脉 脸(1982) 等1, 2

2最小量曲面的Wier-Srases 公式集

1866 年,德国算物理学家Weierstrass(卡尔) Weierstrass,1815—1897年撞见了复变职务。职务提供的最小量曲面方程的通解,本质是你这么说的嘛!说了最小量曲面和全纯职务。、亚纯职务私下的衔接。他使宣誓了曲面是最小量曲面均全部含义它的使协调是等温条件决定元素(使曲面主要的根本方式心爱的的E = G,F = 0 决定元素的调和职务。

设M :r = r(u, v) 它是(U), v) ∈ D 具有等温条件决定元素的最小量曲面,而且不一致于XY 使协调一张用刨刨平,有一D 全纯职务f 亚纯职务G,f 零集与G 两极端集是偏巧。,f 零阶数全部含义G的点。 两极端的次数。,工厂脸M 决定元素方程r(u), v),w = u + iv,可以表现为

相反地,清偿过的是你这么说的嘛!容纳健康f的一些全纯职务 亚纯职务G,如果(3)越位的的综合的不注意真实的周期性。,可以提供如次(u), v) 具有等温条件决定元素的最小量曲面。(3) 它高等的韦尔肠公式集。,三维附件中最小量曲面方程的通解。

接下来,我们的经过无西图公式集写出分别的经文最小量曲面。。

(1) 链状的 取D = C ,f(w) = ew,g(w) = e-w。根本原则公式集(3),失掉

这大约悬链线脸(X)。 + 1)2 + y2 = cosh2z 的决定元素方程。

(2) 正折转面 设D =С ,f(w) = - iew,g(w) = e-w,可以失掉

这大约正折转面Z。 = c? arctan x/y 的决定元素方程。

悬链线脸和正折转面都是在COMPL中界说的。 上,并具有异体同形的职务g 区分不料一。个- i F限定性的的功能,乃,两个脸具有异体同形的决定元素值(U)。, v) 点对应提供了曲面私下的等更迭对应相干。。我们的也可以眼睛的地感受CA私下在着不行分的的触点。。免得我们的沿着用绞船索牵引锐利的它,你可以将悬链线脸折转成正折转面。。


图14。 悬链线脸扩展正折转面。

(3) Enneper 曲面 设D = С,f(w) = 2,g(w) = w 则(3) 提供

由这组方程提供的脸称为EnNePER。 曲面, 这是艾尔弗雷德,德国算物理学家。Enneper 在1863 年度撞见。当u2 + v2 ≥ 3 时,Enneper 脸具有自交气象。


图15。 单位圆内的埃内珀 曲面


图16。 自交鹅 曲面

(4) Scherk 曲面 思索单位圆盘D = {w ∈С ||w|<1} 上的职务

乃可以表现为

是XY 立体上,以原点为精髓,以π 正面大量的正方形区域上的脸。17),这是海因里希,德国算物理学家。 Scherk 在1834 年度撞见。


图17。 Scherk 曲面

不难撞见,(4) 公式集可以重写为Z。 = lncos y - lncos x。我们的也可以颠复表明。明,它可以表现为Z。 = φ(x) + ψ(y) 最小曲面是舍尔克 曲面。

免得我们的增进Scherk 曲面向外延拓,它终极会失掉一结合的的Surrk。曲面。


图18。 双循环薛定克 曲面

3Plateau 成绩

1840 年,比利时物理物理学家和算物理学家Prato(连帽大氅) 普拉托)最小脸积的试验思索。。像很多的技术撞见同样的。,试验是从一次变乱开端的。。奴隶把油溅到装有水和精髓的窥测里。,普拉托小心到油在复合物中表打开完成时的完整度。。后头,对普拉托在肥皂烈性酒和醋精上停止了试验。,把雨天的线框放出来。,获慢着环绕试验水果。,记载在1873 在《试验和学说水力学》一书中宣布了两卷 expérimentale et théorique des 在结算物中)。他在自己的试验后记中写道。:that的复数香槟酒色、妄想和肥皂海水间的妄想显然是气体膜的结成。,……。乃,侮辱妄想在使住满人眼中是很多变的。,但它将受到一点点任命的控制。。”

对我们的来说,反复普拉托的试验是轻易的。。把一则操纵绳浸在肥皂里。海水,那时容易地学会它。,电线上会编队一均衡的胶片。。免得我们的疏忽混合气体自己的分量,不思索风电等外界拥挤元素。,在静态能功能下,薄膜的静态能将管辖的范围最小量。,皂膜的脸排队必然具有最小的面积。。

由于铁丝形状的边界上的使弯曲或使弯曲组可以非常赞许地复杂,因而很难失掉解的表情。式。如今通常把追求以假设附件闭使弯曲为边界上的的面积最小的曲面成绩称为普拉托成绩。我们的可以经过环绕赛注意普拉托成绩的多样性和复杂的事物。。

把电线弯成一关的戒指。,因而戒指上的肥皂膜顺理成章地是平的圆。盘。免得我们的把周围的排队作为边界上的来时尚,对其停止延续扭曲。,我们的会撞见,它所跨度的圆盘的拓扑典型并责任容纳坚定性的。比如,免得电线被封成两个戒指,,把它泡在肥皂海水,那时小心肠把它免去。,我们的撞见,所编队的脸责任简略衔接的。,这是一方向的的莫比乌斯带。,比如,图19。它是一不料一脸和一边界上的的脸。,德国算物理学家莫比乌斯(八月) M?BIUs)和李思鼎(厕所上市)1858 2000孤独撞见。


图19

免得我们的把线框上的帮助划分,那时,在边框上的肥皂膜同样。那时它会时尚。。在这样的事物次,皂膜会想不到的扩展一单连通的圆形脸。,如(图)20)。免得进程使瓦解,我们的可以注意,在边框上,跨度的肥皂膜从激光唱片脸来回到。反复如此的更衣,我们的会撞见,从一脸典型跳到另一脸典型通常是滞后的。。也执意说,当我们的把特点从 变B,脸容纳莫比乌斯带状脸,免得持续将边框特点替换成C,肥皂膜会想不到的扩展盘状脸。;当我们的折转手术,当边框排队为C时 发作B,肥皂膜将保存盘形而责任跳进MuiBUS,不料持续扭曲到这样的事物次。,肥皂膜的排队会想不到的时尚。。这也执意说,当帧特点在必然的更衣范围内时,,由边框编队的皂膜的脸可以是莫比乌斯带。,它也可以是圆盘排队。,它们绝对不变。。这指示它们与接的曲面有点。,面积已管辖的范围绝对最小量。。也执意说,经过Palto试验流行的脸不必然是小的。,将其与接脸停止有点。,面积最小的曲面。


图20

我们的也可以用大约试验来流行火线。文字中提到的悬链线脸。将电线的两端用不正当手段得来的成两个胶料异体同形的戒指。,在心爱的留长作为帮助。,那时用不正当手段得来的勒住马。,一致座位两个圆的立体并流露精髓。把如此的边框注入肥皂海水。,不费力地移走。,可以注意边框上的皂膜排队如图21所示。,它责任规范的脸。,它更像是三个曲面。。此刻,免得你用转子破心爱的的圆盘,肥皂膜会直系的地皱缩成悬链线脸。, 比如,图22。此刻的脸面积比先前的面积小。。增进,免得两帧的腰身是缓慢地准假的,悬链线受到越来越长。,大约地域将会越来越大。。到这样的事物次,肥皂膜将被联系成辨别不同意为ST的圆形脸。, 这两个脸的面积积和必然没有先前的面积。。


图21


图22

由此可见, 从一种边界上的乐曲由线编队的最小脸不延续扭曲。。在必然的次,它的拓扑典型会发作更衣。,它可能性从可方向的的脸变为不行方向的的脸。,从简略衔接曲面到多连通曲面,它也可能性从衔接脸变为非衔接脸。。这增进地说明了肥皂膜试验失掉的曲面不一定是以假设边框为边界上的的面积最小的曲面,将其与接脸停止有点。,面积最小的曲面。

持续大约风趣的365体育在线手机版试验,我们的甚至可以找到答案。,与边界上的异体同形的边框。最小的衔接脸可以很一。。当我们的用不正当手段得来的电线时,图23。 时,可能性有两种由该边框编队的最小脸。,一种是张在两个包围上的宗派和张在衔接两个包围的两条一致线间的宗派协同结合的单连通曲面; 可供选择的事物可以认为是两个周围间的链状的免去了两条一致线间宗派所失掉的单连通曲面,比如,图24。这两种健康状况的涌现打开T私下的更迭。。当更迭较大时,前者面积专家没有后者。,乃,图23将涌现。 的健康状况;当更迭很小时,则正相反。虽然,免得我们的把更迭放在权利的位(比如,更迭是,由于两个脸的相近面积,本试验可以不变地实现预期的结果这两个脸。。也执意说,与边界上的异体同形的边框。最小的衔接脸可以很一。。普拉托成绩甚至限度局限了脸的拓扑典型。,也有可能性有多个处置方案。。

普拉托试验向使住满人述说了斑斓365体育在线手机版面前有礼貌的行为的算学气象,虽然到何种地步应用条约呢?算学学说对算物理学家来应该一宏大的挑动。。Prato试验后90积年。,不注意流行溃。。这不仅是由于很难处置大约成绩。,由于它一向都是。,成绩自己不注意失掉恰当的表达。。不外,普拉托的试验很有意思。,但是,整理大约成绩的容纳健康没有的简略。。在当初的条款,非一次的宗派边值成绩的处置方式,国际公约的方式很难见效。。


图23


图24

只管德国算物理学家贾森·施瓦兹的(急驰曼) 施瓦兹的)与黎曼(伯尔尼哈德) 黎曼)一次思索了龟裂状龟裂状最小量曲面的在性。,但在算学领域,普拉托成绩是直言的的,令人满意的答案。,它是20 世纪30 乘的事变。1930 年,匈牙利算物理学家拉度(Tibor Radó)在边界上的为可求长的简略封使弯曲境地,应用LIMI方式使宣誓了Ptto成绩的稀溶液的在性。1931 年,美国算物理学家道格拉斯(耶西) 道格拉斯)引入新的边界上的值职务代表,完整处置了该成绩的稀溶液的在性。,偏区分方程的变分直系的法同样G。,因而失掉1936 主要的场奖。道格拉斯的任务无力地助长了最小量曲面的思索。,它进入了一新乘。,但是,处置方案的整齐已发作遗留成绩。。直到1970 年,美国算物理学家奥斯曼(罗伯特) Osserman)使宣誓了是你这么说的嘛!解是内常客的。,无能力的有部门点。。算物理学家终极处置了普拉托成绩。。


图25。 道格拉斯(1897-1965)

Prto成绩仍是最小量曲面思索心爱的的一要紧课题。。人技术思索,带很多的算学部门的开展。,特殊地,变分计算和近代的偏区分方式。,它也助长了很多的新的算学主意和方式的涌现。3,4

1915 年,前苏联算物理学家伯尔尼斯坦(波兹南队员克里维茨) 伯尔尼斯坦)使宣誓了方程(1) 在财产层面曲面上的解仅为一次齐式。。也执意说,三维附件中完成时的最小量曲面注定是立体。这不同意一次的偏区分方程的一非常赞许地深入的合奏水果。,伯尔尼斯坦定理称为最小量曲面。


图26。 伯尔尼斯坦(1880-1968)

使住满人一趟猜度伯尔尼斯坦定理在高维中同样使成为的。。1966 年,什么价钱测度论创始人经过、美国算物理学家阿尔姆格伦(弗雷德里克) J. 阿尔姆格伦将大约后记伸开到四维附件。; 1967 年,美国算物理学家和金融家西蒙斯(杰姆斯) Simons)使宣誓了附件伯尔尼斯坦定理没有或全部含义SE。。意料之外的是,当附件维数大于七时,意大利算物理学家Bonberi(恩里科) Bombieri, 1974 菲尔德奖窥测,德乔吉(Ennio de Giorgi, 1990狼奖窥测与Ki Lucius Siti(恩里科) Giusti, 1978 年Caccioppoli 获奖者1969岁 年,提供了伯尔尼斯坦认为的一反例。。

正文

1 Almgren F. J., Minimal surface forms,The Mathematical Intelligencer,1982,4(4): 164-172。

2 陈炜湾,最小量曲面,大连理工大学大学发行社,2011。

3 Isenberg C.,The science of soap films and soap bubbles, Courier Dover Publications, 1978。

4 Meeks III W, Pérez J.,The classical theory of minimal surfaces, Bulletin of the American MathematicalSociety, 2011, 48(3): 325-407。

作者

保继光,现在称Beijing师范大学数学科训练,思索方偏区分方程;柴纳数根底教育任务手续费船驶往,现在称Beijing算学协会船驶往,算学公报总编辑。

林馨怡,现在称Beijing师范大学数纪律训练2014 届本科校友,我在墨尔本努力赶上。算学与总数学术界。